反三角不等式

前置知识 三角不等式

好的，我们可以使用反三角不等式来证明这个命题。

反三角不等式口诀

证明

我们要证明的命题是：如果 $|x - a| < 1$，那么 $|x| - |a| < 1$。

这个证明的核心是反三角不等式 (Reverse Triangle Inequality)。对于任意实数 $x$ 和 $a$，反三角不等式的一个形式是：

反三角不等式的推导如下：

1. 我们从基本的三角不等式开始：$|u + v| \leq |u| + |v|$。
2. 令 $u = x - a$，$v = a$。
3. 将它们代入三角不等式： $$|(x - a) + a| \leq |x - a| + |a|$$
4. 简化左边： $$|x| \leq |x - a| + |a|$$
5. 将 $|a|$ 移到不等式的左边，我们就得到了反三角不等式： $$|x| - |a| \leq |x - a|$$

现在，我们来完成整个证明：

1. 已知前提 (Given)：

   $$|x - a| < 1$$

2. 根据反三角不等式 (From the Reverse Triangle Inequality)：

   $$|x| - |a| \leq |x - a|$$

3. 结合以上两个不等式 (Combining the two inequalities)： 我们有 $|x| - |a|$ 的值小于或等于 $|x - a|$，而 $|x - a|$ 的值又严格小于 1。因此，我们可以得出结论：

   $$|x| - |a| \leq |x - a| < 1$$

4. 结论 (Conclusion)： 因此，我们可以断定：

   $$|x| - |a| < 1$$

证毕 (Q.E.D.)